A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból. Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre. [1]
A feladat:
Milyen valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:
Megoldás [ szerkesztés]
A egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív. ) Ebből rendezés után a következőt kapjuk:. A gyök alatt, található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív) vagy. Tegyük fel, hogy ( legalább, mivel különben nem lenne értelme a -nek). Ekkor az egyenlet:, azaz. Ha, akkor az egyenlet:. Tehát, így az egyenletet pontosan az értékek elégítik ki, a egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő. Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor. Ekkor, vagyis, tehát. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük. Források [ szerkesztés]
↑ Mathlinks: IMO feladatok és szerzőik
- Rózsaszín hold 2021 release
Persze, azt tekintve, hogy tulajdonképp az U valódi osztály is eleme kellene legyen, még a regularitási axióma sem szükséges. Russell tételei [ szerkesztés]
Olvassuk át figyelmesen újra A reguláris osztályok nem alkotnak osztályt c. gondolatmenetet. Figyelemreméltó, hogy nem használtuk benne a regularitási axiómát. Vajon ha használnánk, megmenekülnénk az ellentmondástól? Nem. Ez esetben csak annyit érünk el, hogy a Ψ∈Ψ "ág kiesik" a gondolatmenetből, marad tehát a Ψ∉Ψ, de ez ugyanúgy ellentmondásos. Párok [ szerkesztés]
Érvényes-e a rendezett párok alaptétele, ha az := {a, {a, b}} modellt választjuk? Nem. Például ha a = {x} és b = y, továbbá c = {y} és d = x, akkor annak ellenére, hogy nem feltétlenül teljesül {x} = {y} és y = x. Például ha x = 1-et és y = 2-t választunk, vagy bármilyen olyan x, y objektumokat, melyekre x≠y. Ez a modell persze természetesebbnek tűnik pl. az a=1 és b=2 választással a rendezett párok számára, tulajdonképp az a, b elemekből képezett rendezett pár egy f:{0, 1}→{a, b} leképezés.
Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)! Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem minden krétaira igaz, hogy minden mondata hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek legalább egy mondata igaz. Megjegyzés: Ez az ún. Epimenidész-paradoxon. A paradoxon (legalábbis Filep László véleménye szerint, amit nincs okunk kétségbe vonni) nem igazán logikai jellegű (logikai eszközökkel kibogozható, hogy semmilyen klasszikus formállogikai alapelvet nem sért), tulajdonképpen nem önellentmondás; hanem inkább ismeretelméleti. Furcsa, hogy Epimenidész állításából a krétaiak beszédének (ide értve Epimenidész fenti kijelentését is) mindenfajta tapasztalati ellenőrzése nélkül, pusztán a logikai elemzésre hagyatkozva "ki lehet mutatni" egy "igazmondó" krétai létezését.
A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból. Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta. Feladatok [ szerkesztés]
Első nap [ szerkesztés]
1. [ szerkesztés]
Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is – a következő tört nem egyszerűsíthető:
Megoldás
2. [ szerkesztés]
Milyen valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:
3. [ szerkesztés]
Tudjuk, hogy
Mutassunk másodfokú egyenletet -re úgy, hogy együtthatói csak az számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be, és -et. Második nap [ szerkesztés]
4. [ szerkesztés]
Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével. 5. [ szerkesztés]
Az szakaszon mozog az pont. Az és szakaszok fölé az egyenes ugyanazon oldalára az és a négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör -ben és -ben metszi egymást. Mutassuk meg, hogy az és a egyenes is átmegy az ponton.
és 3). pontok alatt leírt osztályok csak akkor léteznek, ha az a, á, b, c, cs hangok, meg az Olvasó és a Tankönyvíró eleme az E egyedek osztályának. De ezt nyugodtan feltehetjük. 2. [ szerkesztés]
Vajon az "izgalmas mozifilmek" sokasága miért nem osztály? Sérti az egyértelmű meghatározottság axiómáját. Az "izgalmas" jelző köztudottan szubjektív, fuzzy tulajdonság; nem egyértelmű, mely filmekre igaz és melyekre nem. 3. [ szerkesztés]
Tudjuk, hogy az osztályok = egyenlősége reflexív reláció: azaz tetszőleges A osztályra A=A. Lássuk be, hogy meg irreflexív reláció, azaz egyetlen osztály sem nem-egyenlő önmagával! Valóban, ha AA volna, az épp az ellenkezőjét jelentené (hogy ¬(A=A)) annak, ami az = reflexivitása miatt igaz, azaz annak, hogy A=A. 4. [ szerkesztés]
Tranzitív-e (ha ab és bc, igaz-e mindig ac)? Nem. Például az a=0, b=1, c=a=0 esetben 01 és 10, mégsem igaz 00. 5. [ szerkesztés]
Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen -: "A krétaiak mind örök hazugok és naplopók! "
Létezik-e ez az osztály? Segítség: (melyik közismert) halmaz-e ez az osztály? Legyen a neve Q, ekkor pl. Q:= {x∈ H | ¬∃y∈ H:(x∈y)}. De természetesen írható az is, hogy Q:= {x∈ H | ∀y∈ H:(x∉y)}. Persze Q üres, hiszen ha x halmaz, akkor mindig eleme a {x} halmaznak (egyelemű halmazt bármiből képezhetünk, csak valódi osztályból nem), tehát nincs olyan x halmaz, amely ne lenne eleme egy másik halmaznak, tehát Q-nak nincs eleme, ezért vagy egyed, vagy az üres osztály; de a feladat szerint osztály, nem lehet tehát egyed; ezért nem lehet más, csak az üres halmaz. Tehát Q halmaz, mégpedig az üres, és így persze létezik. 7. [ szerkesztés]
a). Igaz-e, hogy az Ü:= {x | x≠x} definíció értelmes, létező osztályt ad meg, mégpedig az üres osztályt? b). Vajon az Ω:= {x | x=x} definíció létező osztályt ad meg? a). Mindenekelőtt azt kell tisztázni, mit értünk a ≠ jel alatt. Ha individuumegyenlőséget, akkor az a helyzet, hogy természetesen semmi sem nem-egyenlő önmagával. Az Ü osztálynak ezért nincs eleme, az valószínűleg az üres osztály.
A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból. A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1960-ban, Sinaiában (Románia) rendezték, s öt ország 40 versenyzője vett részt rajta. Feladatok [ szerkesztés]
Első nap [ szerkesztés]
1. [ szerkesztés]
Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével. Megoldás
2. [ szerkesztés]
Milyen valós -ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:. 3. [ szerkesztés]
Az derékszögű háromszög hosszú átfogóját egyenlő szakaszra osztottuk ( páratlan pozitív egész). Jelöljük -val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik -ból. Legyen az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy. Második nap [ szerkesztés]
4. [ szerkesztés]
Adott az háromszög -ból és -ből induló ill. magassága és az -ból induló súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget. 5. [ szerkesztés]
Vegyük az kockát (ahol pontosan fölött van). Mi a mértani helye az szakaszok felezőpontjainak, ahol az, pedig a lapátló tetszőleges pontja?
Szerda Hermann Kos Március 20. 10:37 - Április 19. 21:33 "Én vagyok. (Van, aki lépést tart velem? )" Elemek és vonzásaik Holdfázis Holdkelte ↑ Holdnyugta ↓ 3:19 ↑ 13:34 ↓ Csillagjegy 21:30 Tápanyag minőség Nap minőség Növényrész Ajánlott tevékenységek Bökj a képekre a leírások megjelenítéséhez! KAPCSOLAT Szalay Zita Telefon: +36-20-383-5947 E-mail:
Rózsaszín Hold 2021 Release
Augusztus 12-13-án láthatjuk a Perseidák leglátványosabb meteorzáporát. A hullócsillagokat Szent Lőrinc könnyeinek is nevezik. Mivel sötét égboltra számíthatunk (a Hold hamarabb megy le), nem csalódhatunk az égi tűzijátékban. Őszi égi show-kalendárium
Október 7-én lesz látható a Drakonidák meteorraj, amely minden évben eléri a Föld légterét. Ezeket a hullócsillagokat bárhonnan láthatjuk, de könnyebben észrevehetőek lesznek a Föld északi féltekéjén, különösen az október 7-8-i csúcs éjszakákon. Rózsaszín hold 2021 full. Reméljük, november közepén még nem lesz nagyon hideg, mert a Leonidák meteorraja – amely 33 évente tetőzik – november 17- 18-án varázsolja el az érdeklődőket. Sajnos éppen megint telihold lesz, ami jelentősen megnehezíti az észlelést, de éjfél környékén van esély arra, hogy elcsípjünk egy-egy látványosabb hullócsillagot. Kiemelt kép: Getty Images
Forrás:
Minden pasinak van valahol egy olyan pólója, amiről nem tudja eldönteni, hogy vajon rózsaszín-e. Ez egyrészt azért van, mert mi nagyon magabiztosan körülbelül három színt tudunk megkülönböztetni egymástól, a többiről pedig – az úgynevezett lazac- tégla- mályva- és egyéb színekről – pedig szent meggyőződésem, hogy csak kitalálták őket, méghozzá azért, hogy annak ellenére is rózsaszín pólóban járjunk, hogy ezt eredetileg kerülni szerettük volna. Akárhogy is nézzük, a rózsaszín lányos szín. A kisfiúk kék izéket kapnak, a kislányok rózsaszínű micsodákat, ilyen seggablakos egyberuhát, vagy mit – de ez nem mindig volt így. Mam Night játszócumi #2-6 hónap #Rózsaszín felhő-hold #805448 2021 - Altató- és Játszócumi - Babaápolás termék részletei. A XIX. században például a rózsaszín kifejezetten férfias színnek számított, valószínűleg azért, mert a piros egy enyhébb árnyalataként kezelték, ezt pedig inkább a férfiakkal társították. Természetesen ez nem jelentette azt, hogy nők nem hordhattak rózsaszín holmikat – valójában nemi megkötés nélkül bárki bátran viselhette az árnyalatot. A gyerekruháknál azért okozott némi zűrzavart a szín: egyes álláspontok szerint a fiúkat kellett rózsaszínbe öltöztetni, mások szerint a lányokat – érdekes, hogy az Infants Department nevű lap 1918-ban megjelent cikke szerint (nem is volt ez olyan régen! )